Manual de Matemáticas

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Resumen
Formulario de matemáticas y también página de prueba de MathML en navegadores compatibles (Firefox 1.0+ y IE con plug-in MathPlayer). EN ETERNA CONSTRUCCIÓN.

Miscelánea

Número combinatorio: ${N \choose k}= \frac{N!}{k! \, (N-k)!}$

Binomio de Newton: $(a+b)^N = \sum_{i=0}^N {N \choose i} a^{N-i}b^i$

Identidades algebráicas básicas

$(a \pm b)^2 = a^2 + b^2 \pm 2ab$

(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c

(a + b + c + ... + z) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + ... + z 2 + 2 a b + 2 a c + ... + 2 a z + 2 b c + ... + 2 b z + ... + 2 z x + 2 z y

$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$

$(a \pm b)^n$ se calcula con la fórmula (binomio) de Newton

(a + b)(a - b) = a 2 - b 2

Nota: Las anteriores identidades son ciertas sólo si el álgebra conmuta (con matrices no es cierto).

Función logaritmo

Propiedades:

log a (1) = 0

log a (a) = 1

log a (a x) = x

$a^{log_a(x)} = x$

log a (u v) = log a (u) + log a (v)

$\log_a(\frac{u}{v}) = \log_a(u) - \log_a(v)$

log a (u n) = n log a (u)

$\log_a(\sqrt[n] u) = \frac{1}{n} \log_a(u)$

Cambio de base:

$\log_b(u) = \frac{\log_a(u)}{\log_a(b)}$

Trigonometría

$\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y \,$

$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y \,$ (OJO, los signos están cambiados)

$\sin x \cos y = \frac{1}{2}\sin(x + y) + \frac{1}{2}\sin(x - y) \,$

$\cos x \cos y = \frac{1}{2}\cos(x - y) + \frac{1}{2}\cos(x + y) \,$

$\sin x \sin y = \frac{1}{2}\cos(x - y) - \frac{1}{2}\cos(x + y) \,$

$\sin x + \sin y = 2\sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

$\sin x - \sin y = 2\cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$

$\cos y + \cos x = 2\cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

$\cos y - \cos x = 2\sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$

$\cos^2(x) = {1 + \cos(2x) \over 2}$

$\sin^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 2}$

Teorema del coseno

Notación para el triángulo

En todo triángulo «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido...»

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\operatorname{cos}(\alpha)$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\operatorname{cos}(\beta)$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\operatorname{cos}(\gamma)$

Teorema del seno

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados A, B y C y el seno de sus respectivos ángulos opuestos a, b y c

$\frac{a}{\sin(\alpha)}= \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Series

Exponencial: $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!} = e^a$

Aritmética: $\sum_{k=K_1}^{K_2} i = \frac{K_2+K_1}{2}(K_2-K_1 + 1)$

Geométrica: $\sum_{k=K_1}^{K_2} r^k = \frac{r^{K_1} - r^{K_2+1}}{1-r}$

Aritmético-geométrica infinita: $\sum_{k=0,1}^{\infty} kr^{k-1} = \frac{1}{(1-r)^2}, |r| < 1$

Aritmético-geométrica finita: ???

Tabla de derivadas

Tabla de derivadas inmediatas
$f (x)$	$D [f (x)]$
$x$	$1$
$x n$	$n x n - 1$
$x^{\frac{m}{n}}$	$\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1}$
$e x$	$e x$
$a x$	$a x log(a)$
$log(x)$	$\frac{1}{x}$
$log a (x)$	$\frac{1}{x\log(a)}=\frac{1}{x}\log_{a}(e)$
$sin(x)$	$cos(x)$
$cos(x)$	$- sin(x)$
$tan(x)$	$1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x)$
$arcsin(x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$arccos(x)$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$arctan(x)$	$\frac{1}{1+x^2}$

Regla de la cadena

$D\left[ f \left( g(x) \right) \right] = \left[D\left[f(x)\right] \circ g(x) \right] D\left[g(x)\right]$

Estadística y probabilidad

Proceso estocástico

Definición de trabajo, es una función de una variable temporal/espacial y una o varias VAs. Por ejemplo:
$f (n, q)$ donde q es una VA con una función de densidad $f q (q)$

Procesos aleatorios

Es un proceso estocástico en el que sus variables son estadísticamente independientes. Este es el único requisito, en particular no es necesario suponer que las VAs son i.d.d (independientes e idénticamente distribuidas)

Estadístico de orden N

Un estadistico de orden N es una esperanza en la que interviene una función de distribución de orden N. Por ejemplo, la media y la varianza de una VA sólo necesitan la función de distribución de esa VA y por tanto son estadísticos de orden 1. En cambio, la correlación entre dos VAs, exige tener la función de distribución conjunta de esas dos VAs y por tanto es un estadístico de orden 2.

Estacionariedad

Un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto (SSS) si la función de distribución de cualquier orden es invariante con el tiempo. $F_{n_1, n_2, ..., n_N}(x_1, x_2, ..., x_N) = F_{n_1+\Delta, n_2+\Delta, ..., n_N+\Delta}(x_1, x_2, ..., x_N)$

Un proceso estocástico es estacionario en sentido amplio (WSS) si la función de distribución de orden 1 y 2 es invariante con el tiempo. $F_{n_1, n_2, ..., n_N}(x_1, x_2, ..., x_N) = F_{n_1+\Delta, n_2+\Delta, ..., n_N+\Delta}(x_1, x_2, ..., x_N)$

Ergodicidad

Un proceso estocástico es ergódico si los promedios estadísticos coinciden con los promedios temporales, es decir, si podemos calcular la media de las VAs del proceso a partir de una realización temporal. Ergodicidad => Estacionariedad.

Teoría de la señal

Función delta

(Señales continuas)

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta (t)dt = 1$

x (t)δ(t) = x (0)δ(t)

x (t)δ(t - t 0) = x (t 0)δ(t - t 0)

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta (t - t_0) x(t)dt = x(t_0)$

$\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}$

Convolución

$x(n) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} x(k)\delta(n-k)$

$y(n) = x(n) * h(n) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(k)h(n-k)$

Propiedades de la convolución

Comutativa: $x (n) * h (n) = h (n) * x (n)$
Asociativa: $(x (n) * h 1 (n)) * h 2 (n) = x (n) * (h 1 (n)) * h 2 (n))$
Distributiva respecto de la suma $x (n) * (h 1 (n) + * h 2 (n)) = x (n) * h 1 (n) + x (n) * h 2 (n)$
Elemento unitario: $x (n) * δ(n) = δ(n) * x (n) = x (n)$

Propiedades de los sistemas lineales

Sin memoria $\Longleftrightarrow h(t) = k\delta(t)$
Invertibilidad $\Longleftrightarrow h(t)*h_{inv}(t) = \delta(t)$
Causalidad $\Longleftrightarrow h(t) = 0 \, t < 0$
Estabilidad $\Longleftrightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} |h(t)| dt < \infty$

Transformada de Fourier

Variables de frecuencia
	$Ω$	$F$
$ω$	$ω = Ω T$	$ω = 2π F T$
$f$	$f = Ω T / (2π)$	$f = F T$

Relación entre el espectro de la señal discreta y el espectro de la señal continua

x (n) = x a (n T s)

$X(f) = X(F/F_s) = F_s \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_a(F- kF_s)$

Para señales discretas:

Ecuación de análisis: $X(f) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x(n) e^{-j2 \pi f n }$
Ecuación de síntesis: $x(n) = \int_{-1/2}^{+1/2} X(f) e^{-j 2 \pi f n }df$

Bibliografía

[1] "Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes", E. Bronshtein, K. Semendiaev, Editoral MIR Rubiños-1860 S.A.
[2] "Tratamiento digital de señales. Principios, algoritmos y aplicaciones.", John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis, Prentice Hall, ISBN 0-13-373762-4
[3] "Theory and Design of Adaptive Filters", John R. Treichler, C. Richard Johnson Jr, Michael G. Larimore, Prentice Hall, ISBN 0-13-040265-6